Συσχέτιση Μεταβλητών: Pearson, Spearman, Kendall και Πίνακες Συσχετίσεων

Εισαγωγή

Η ανάλυση συσχέτισης αποτελεί μία από τις βασικότερες τεχνικές της στατιστικής ανάλυσης. Χρησιμοποιείται όταν ο ερευνητής επιθυμεί να εξετάσει εάν δύο μεταβλητές μεταβάλλονται συστηματικά μαζί και, εφόσον υπάρχει σχέση, να προσδιορίσει την κατεύθυνση και την έντασή της.

Η έννοια της συσχέτισης συναντάται σε πολλούς επιστημονικούς τομείς. Για παράδειγμα, μπορεί να εξεταστεί αν η ηλικία σχετίζεται με τα έτη επαγγελματικής εμπειρίας, αν το άγχος συνδέεται με την ποιότητα ζωής ή αν η αντίληψη για το σχολικό κλίμα διαφοροποιείται ανάλογα με την προϋπηρεσία.

Η επιλογή του κατάλληλου συντελεστή εξαρτάται από τη φύση των μεταβλητών, την κλίμακα μέτρησης, τη μορφή της σχέσης και τις στατιστικές προϋποθέσεις.

Τι Είναι η Συσχέτιση;

Ο συντελεστής συσχέτισης εκφράζει τον βαθμό στον οποίο δύο μεταβλητές συνδέονται μεταξύ τους.

Οι περισσότεροι συντελεστές λαμβάνουν τιμές μεταξύ:

−1 και +1

Τιμή κοντά στο +1 υποδηλώνει ισχυρή θετική σχέση: όσο αυξάνεται η μία μεταβλητή, τείνει να αυξάνεται και η άλλη.

Τιμή κοντά στο −1 υποδηλώνει ισχυρή αρνητική σχέση: όσο αυξάνεται η μία, η άλλη τείνει να μειώνεται.

Τιμή κοντά στο 0 υποδηλώνει ασθενή ή ανύπαρκτη μονοτονική ή γραμμική σχέση, ανάλογα με τον συντελεστή που χρησιμοποιείται.

Πίνακας Συσχετίσεων

Ο correlation matrix παρουσιάζει ταυτόχρονα τις συσχετίσεις μεταξύ πολλών μεταβλητών.

Στην κύρια διαγώνιο εμφανίζεται πάντα η τιμή 1, επειδή κάθε μεταβλητή συσχετίζεται τέλεια με τον εαυτό της. Τα υπόλοιπα κελιά περιέχουν τις συσχετίσεις μεταξύ διαφορετικών ζευγών μεταβλητών.

Ένας τέτοιος πίνακας είναι χρήσιμος για:

την αρχική διερεύνηση των σχέσεων,

την αναγνώριση μεταβλητών που σχετίζονται έντονα,

τον έλεγχο πιθανής πολυσυγγραμμικότητας,

και την προετοιμασία για τεχνικές όπως παραγοντική ανάλυση ή PCA.

Το αρχικό αρχείο επισημαίνει ότι ομάδες μεταβλητών με υψηλές μεταξύ τους συσχετίσεις μπορεί να υποδηλώνουν κοινές «κρυφές» διαστάσεις ή παράγοντες.

Συντελεστής Pearson

Ο Pearson correlation coefficient (r) χρησιμοποιείται κυρίως για τη μέτρηση της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο ποσοτικών μεταβλητών.

Ορίζεται ως:

r = Cov(X,Y) / (sₓsᵧ)

δηλαδή η συνδιακύμανση των δύο μεταβλητών διαιρεμένη με το γινόμενο των τυπικών αποκλίσεών τους.

Ο Pearson είναι κατάλληλος όταν η σχέση είναι περίπου γραμμική και δεν υπάρχουν σοβαρά προβλήματα από ακραίες τιμές.

Ένα σημαντικό σημείο είναι ότι ο Pearson αξιολογεί γραμμική σχέση. Μπορεί να υπάρχει ισχυρή μη γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών και ο Pearson να είναι κοντά στο μηδέν.

Συντελεστής Spearman

Ο Spearman’s rho (ρ ή rₛ) είναι μη παραμετρικός συντελεστής συσχέτισης.

Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα όταν:

οι μεταβλητές είναι διατακτικές,

τα δεδομένα δεν πληρούν τις προϋποθέσεις του Pearson,

υπάρχουν έντονες αποκλίσεις από την κανονικότητα,

ή η σχέση είναι μονοτονική αλλά όχι απαραίτητα γραμμική.

Ο Spearman δεν βασίζεται στις αρχικές αριθμητικές τιμές αλλά στις τάξεις (ranks) των παρατηρήσεων.

Στο αρχικό αρχείο χρησιμοποιείται ακριβώς ο Spearman «λόγω της φύσης των μεταβλητών».

Παράδειγμα Ερμηνείας Spearman

Στο παράδειγμα του αρχείου, η συσχέτιση μεταξύ:

Ηλικίας και Ετών Υπηρεσίας

είναι:

rₛ = 0,653

με:

p < .001

και δείγμα:

N = 202.

Η σωστή ερμηνεία είναι ότι υπάρχει ισχυρή θετική μονοτονική συσχέτιση μεταξύ ηλικίας και ετών υπηρεσίας.

Δηλαδή, όσο αυξάνεται η ηλικία, τείνουν να αυξάνονται και τα έτη υπηρεσίας.

Στο αρχικό κείμενο η τιμή Sig. εμφανίζεται ως ,000. Σε επιστημονική δημοσίευση δεν γράφουμε p = .000, αλλά:

p < .001

επειδή η πραγματική πιθανότητα δεν είναι μηδέν.

Στατιστική Σημαντικότητα και Μέγεθος Σχέσης

Το p-value απαντά στο ερώτημα αν τα δεδομένα παρέχουν επαρκή στοιχεία ενάντια στη μηδενική υπόθεση μηδενικής συσχέτισης.

Δεν δείχνει όμως πόσο ισχυρή είναι η σχέση.

Για αυτό πρέπει να αναφέρονται ταυτόχρονα:

ο συντελεστής συσχέτισης

και

το p-value.

Για παράδειγμα:

rₛ = .65, p < .001

είναι πολύ πιο πληροφοριακό από τη διατύπωση «υπήρξε στατιστικά σημαντική σχέση».

Ως γενικός και όχι απόλυτος οδηγός, τιμές γύρω στο 0,10 θεωρούνται συχνά μικρές, γύρω στο 0,30 μέτριες και από 0,50 και πάνω σχετικά ισχυρές. Η ερμηνεία πρέπει όμως να γίνεται στο πλαίσιο του συγκεκριμένου επιστημονικού πεδίου.

Συσχέτιση δεν Σημαίνει Αιτιότητα

Ακόμη και μια πολύ υψηλή συσχέτιση δεν αποδεικνύει ότι η μία μεταβλητή προκαλεί την άλλη.

Στο παράδειγμα ηλικίας και προϋπηρεσίας, η σχέση είναι αναμενόμενη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η ηλικία «προκαλεί» την προϋπηρεσία με την αιτιώδη έννοια.

Μπορεί επίσης να υπάρχει τρίτη μεταβλητή που επηρεάζει και τις δύο.

Η αιτιώδης ερμηνεία απαιτεί κατάλληλο ερευνητικό σχεδιασμό και όχι μόνο υψηλό συντελεστή συσχέτισης.

Συνδιακύμανση

Η συνδιακύμανση (covariance) αποτελεί τη μαθηματική βάση της συσχέτισης.

Για δύο μεταβλητές Χ και Υ:

Cov(X,Y) = E[(X−μₓ)(Y−μᵧ)]

Θετική συνδιακύμανση σημαίνει ότι οι δύο μεταβλητές τείνουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.

Αρνητική σημαίνει ότι τείνουν να κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Η βασική διαφορά από τη συσχέτιση είναι ότι η covariance εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης, ενώ ο συντελεστής συσχέτισης είναι τυποποιημένος.

Covariance Matrix

Όταν εξετάζονται πολλές μεταβλητές δημιουργείται ο πίνακας συνδιακυμάνσεων.

Η διαγώνιος περιέχει τις διακυμάνσεις των μεταβλητών και τα εκτός διαγωνίου στοιχεία τις μεταξύ τους συνδιακυμάνσεις. Το αρχικό υλικό περιγράφει τον covariance matrix ως φυσική γενίκευση της διακύμανσης σε περισσότερες διαστάσεις.

Ο πίνακας αυτός χρησιμοποιείται σε πολλές πολυμεταβλητές τεχνικές.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η Principal Component Analysis (PCA), η οποία αξιοποιεί τη δομή συνδιακύμανσης για τη δημιουργία νέων, ασυσχέτιστων διαστάσεων που συμπυκνώνουν την πληροφορία των αρχικών μεταβλητών.

Kendall’s W και Delphi

Το αρχείο περιλαμβάνει επίσης μια διαφορετική μορφή «συσχέτισης»: τον Kendall’s coefficient of concordance (W).

Ο Kendall’s W δεν χρησιμοποιείται για τη συσχέτιση δύο μεταβλητών αλλά για την αξιολόγηση συμφωνίας μεταξύ πολλών αξιολογητών ή συμμετεχόντων που κατατάσσουν αντικείμενα.

Λαμβάνει τιμές από 0 έως 1:

W = 0: απουσία συμφωνίας,

W = 1: πλήρης συμφωνία.

Στο αρχικό υλικό προτείνεται ως εργαλείο αξιολόγησης consensus σε μελέτες Delphi.

Η χρήση του είναι ιδιαίτερα κατάλληλη όταν οι συμμετέχοντες κατατάσσουν προτάσεις ή κριτήρια σε διαφορετικούς γύρους Delphi.

Σταθμισμένο Kappa

Το αρχικό αρχείο αναφέρεται επίσης στη weighted Kappa, η οποία εξετάζει τη συμφωνία μεταξύ αξιολογήσεων διορθώνοντας για τη συμφωνία που θα μπορούσε να εμφανιστεί τυχαία.

Το weighted Kappa είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν οι κατηγορίες είναι διατακτικές, επειδή μπορεί να λαμβάνει υπόψη το πόσο μεγάλη είναι η διαφωνία.

Για παράδειγμα, η διαφωνία μεταξύ βαθμολογίας 4 και 5 μπορεί να θεωρηθεί μικρότερη από τη διαφωνία μεταξύ 1 και 5.

Pearson, Spearman, Kendall W και Kappa: Πότε Χρησιμοποιούνται;

Η επιλογή δεν πρέπει να γίνεται επειδή ένας δείκτης είναι περισσότερο γνωστός.

Ο Pearson χρησιμοποιείται κυρίως για γραμμική σχέση συνεχών μεταβλητών.

Ο Spearman για διατακτικές μεταβλητές ή μονοτονικές σχέσεις όταν οι προϋποθέσεις του Pearson δεν είναι κατάλληλες.

Ο Kendall’s W χρησιμοποιείται για συνολική συμφωνία πολλών αξιολογητών ή panel, όπως σε Delphi.

Το weighted Kappa χρησιμοποιείται για συμφωνία σε διατακτικές κατηγορίες, συνήθως μεταξύ αξιολογητών ή μεταξύ δύο χρονικών μετρήσεων.

Παρουσίαση Αποτελεσμάτων

Μια σωστή αναφορά συσχέτισης μπορεί να είναι:

«Παρατηρήθηκε ισχυρή θετική συσχέτιση μεταξύ ηλικίας και ετών υπηρεσίας, Spearman’s rₛ = .653, p < .001, N = 202.»

Αυτή η διατύπωση είναι σαφέστερη από τη φράση:

«Υπάρχει ισχυρή συσχέτιση επειδή Sig. < .05».

Πρέπει να αναφέρονται πάντοτε τόσο η ένταση και κατεύθυνση όσο και η στατιστική σημαντικότητα.

Συμπεράσματα

Η ανάλυση συσχέτισης αποτελεί βασικό εργαλείο για την κατανόηση σχέσεων μεταξύ μεταβλητών.

Ο Pearson και ο Spearman απαντούν σε διαφορετικά στατιστικά ερωτήματα, ενώ ο Kendall’s W και το weighted Kappa αφορούν περισσότερο τη συμφωνία και τη συναίνεση.

Ο correlation matrix επιτρέπει τη συνολική διερεύνηση πολλών μεταβλητών και μπορεί να αποτελέσει αφετηρία για πιο σύνθετες αναλύσεις, όπως η παραγοντική ανάλυση και η PCA.

Η σύγχρονη παρουσίαση δεν πρέπει να περιορίζεται στο p-value. Χρειάζεται ταυτόχρονη αναφορά του συντελεστή, της κατεύθυνσης, της έντασης, του p-value και του μεγέθους του δείγματος, ενώ η συσχέτιση δεν πρέπει να ερμηνεύεται αυτόματα ως αιτιώδης σχέση.

Βιβλιογραφία

Agresti, A. (2019). An introduction to categorical data analysis (3rd ed.). Wiley.

Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS Statistics (5th ed.). SAGE Publications.

Gibbons, J. D., & Chakraborti, S. (2011). Nonparametric statistical inference (5th ed.). Chapman & Hall/CRC.

Howell, D. C. (2013). Statistical methods for psychology (8th ed.). Wadsworth.

Kendall, M. G., & Gibbons, J. D. (1990). Rank correlation methods (5th ed.). Edward Arnold.

Wasserman, L. (2004). All of statistics: A concise course in statistical inference. Springer.